前两天偶然间想起一个经典的红蓝眼睛问题，这个问题最早是由Terence Tao提出的，其表述大概如下：

一个岛屿上住着一群土著，这些土著的眼睛均为红色或蓝色，其中有 $m$ 个红眼睛、 $n$ 个蓝眼睛。由于某种宗教的存在，这些土著之间遵循着一些约定俗成的规则：

  1. 土著们都不知道自己眼睛的颜色。
  2. 土著们不会通过任何方式告知其他人任何人眼睛的颜色。
  3. 如果有人知道了自己眼睛的颜色，他一定会在当天晚上自杀。

一天，有一位探险家经岛屿所属政府的批准登上了岛屿，在登岛前，为保护岛上的土著，探险家被告知「不可以给这个岛屿上的土著们带去他们以前所不知道的信息」。

登岛后，探险家发现岛上红眼睛的土著有不止一个（$m\ge2$），因此，探险家心想：“每个人都知道岛上有红眼睛的人”，于是探险家对着人群大喊：“你们当中有红眼睛的人！”

“这样应该没有给土著们带去额外的信息吧”，探险家心想。

然而真的是这样吗？假设岛上的土著都十分擅长逻辑推理，考虑探险家这句话带来的后果。

相信很多朋友都听过这个问题，也很清楚答案：

第 $m$ 天晚上，$m$ 个红眼睛土著自杀，第 $m+1$ 天晚上， $n$ 个蓝眼睛土著自杀。

我在一开始把问题想的简单了，我的思考如下：

考虑 $m=2$ 的情形，此时共有两个红眼睛土著，记为 $R_1,R_2$，从他们各自的视角来看，外面均还有一个红眼睛，此时，以 $R_1$ 的视角来看这个场景，由于 $R_1$ 并不知道自己是红还是蓝，因此，在 $R_1$ 看来，外面的 $R_2$：可能并不知道「有红眼睛的人」这件事（如果我 $R_1$ 是蓝的， $R_2$ 可不就是不知道嘛），所以，当探险家喊出那句知识的时候，其实还带给了 $R_1$ 一个额外的信息，即：“现在 $R_2$ 已经知道「有红眼睛的人」这件事了”，那么 $R_1$ 心想：“如果我是蓝眼睛，在 $R_2$ 视角下场上将没有红眼睛，此时 $R_2$ 足够聪明，他会立刻意识到自己是场上唯一一个红眼睛的人，也即 $R_2$ 会在第一天晚上自杀”。

对 $R_2$ 而言，同样如此，因此两人等了一天，发现第一天晚上无事发生。此时足够聪明的二位在第二天同时意识到了自己是红眼睛，因此，他们会在第二天晚上自杀。

接下来，通过数学归纳法，“容易”推导出对一切 $m=k$，有结论： $k$ 个红眼睛会在第 $k$ 天晚上自杀，而剩下的蓝眼睛则会在下一天意识到自己是蓝眼睛，因此会在 $k+1$ 天晚上自杀。

归纳如下，假设结论已经对 $m=k$ 成立，我们来思考 $m=k+1$。

下面是错误证明

对每一个红眼睛土著而言， 外面都能看到 $k$ 个红眼睛土著，那么在他们视角看来，外面的环境满足 $m=k$ 情形 （满足吗？？？），因此他们只需等待 $k$ 天，若外面的 $k$ 人没有在第 $k$ 天晚上自杀，这每个红眼睛土著都会意识到自己是红眼睛，因此会在第 $k+1$ 天晚上自杀。

这个证明显然是错的，因为在这个证明中，除了 $k=2$ 时用到的那个额外信息（每个人都知道有红眼睛的人）之外，没有用到任何其他信息。如果这个证明成立，那么当岛上的红眼睛数量大于2时，即使没有探险家的那句话，这些人也必然会在一定天数后自杀，因为他们不需要探险家的喊话就能意识到“每个人都知道有红眼睛的人”，从而导致连锁反应。

显然探险家的喊话带给人群的信息不止是前面所述内容。

那么 $m=3$ 和 $m=2$ 的区别在哪呢？多了这一个红眼睛的人后，$R_1$ 先天就知道 “$R_2$ 知道「有红眼睛的人」这件事”，因为在 $R_1$ 看来， $R_2$ 的视角下，至少有 $R_3$ 的存在。

此时 $R_1$ 想要站在上帝视角来旁观 $R_2$ 和 $R_3$ 的行为，从而能够根据他俩的行为来推断自己的眼睛颜色，需要满足什么条件呢？

回想之前的 $m=2$ 情形，我们清楚一个结论：如果 $R_1$ 是蓝眼睛，那么当 $R_2$ 知道 “$R_3$ 知道「有红眼睛的人」这件事”时，这个 $m=2$ 状态将会发生坍塌。

那么只要把 $R_1$ 放到我们的位置， $R_1$ 就相当于站在了上帝视角。此时 $R_1$ 相比于之前人群中的 $R_1$ 而言，多获取到了一个知识：$R_2$ 知道 “$R_3$ 知道「有红眼睛的人」这件事”。在这个知识的加持下， $R_1$ 能够确定只要外面的两人在第二天晚上没有自杀，自己必然是红眼睛。同理，这个结论对 $R_2,R_3$ 也成立。

而上面所说的知识显然也可以从探险家的那句喊话中得到。所以，我们就从 $m=2$ 的情形推出了 $m=3$ 的情形。

从前面的思考中，我发现了这个有点像多层嵌套的知识的结构，不如将它称为“多阶知识”。

这个场景下，一阶知识就是探险家喊出的那句话：“你们当中有红眼睛的人！” 提供的直接知识：“有红眼睛的人”，这个一阶知识 （在$m\ge2$时） 显然每个人都知道，探险家正是因为这个原因，以为自己的喊话没有提供额外的信息。但他忽略了喊话行为带来的高阶知识。

这个知识对应的二阶知识是“每个人都知道有红眼睛的人”，三阶知识是“每个人都知道每个人都知道有红眼睛的人”，以此类推。

重新考虑前面的数学归纳过程，同样的，假设结论已经对 $m=k$ 成立，我们重新来思考 $m=k+1$。

对每一个红眼睛土著而言， 外面都能看到 $k$ 个红眼睛土著，那么在他们视角看来，外面的环境差不多可以满足 $m=k$ 情形，只需要一个额外的条件。

显然，$m=k$ 时结论成立，需要这 $k$ 个人同时知道原知识的 $k$ 阶知识：“每个人都知道每个人都知道…每个人都知道有红眼睛的人” （共 $k-1$ 个“每个人都知道”）。

现在我们继续站在 $R_1$ 的视角考虑，外面的 $k$ 个红眼睛如果知道上面的 $k$ 阶知识，就可以从这 $k$ 个人的行为推出自己眼睛的颜色。因此这里 $R_1$ 只要获取一个下面这样的知识，就可以站在上帝视角去观察外界的行为。这个知识即：

外面的 $k$ 人知道 $k$ 阶知识。

而原知识的 $k+1$ 阶知识相当于每个人都知道 $k$ 阶知识，它自然包含了前面 $R_1$ 需要获取的知识。而这个 $k+1$ 阶知识显然也可以从探险家的喊话中推导出。

接下来就和之前一模一样了。

这个问题其实抽象出来了两个概念：共有知识与公共知识，一个群体中，大家都知道的结论被称为共有知识，但如果有一个足够权威的人将这个共有知识公之于众，则它会变成一个公共知识。从这个问题中可以看出，一个公共知识相当于一个无穷高阶的知识，而一个共有知识，仅仅相当于一个一阶知识。

当然，如果群众里面有一个傻子，结论就失效了😊。